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第八章 二元一次方程組復習設計

第八章 二元一次方程組復習

教材分析

本課是第八章的章末復習課,是學生再認知的過程,因此主要任務使學生在復習回顧的基礎上,系統掌握本章的主要內容及其聯系,并進一步訓練學生靈活運用所學知識分析解決問題的能力。

本章主要內容包括:利用二元一次方程組分析與解決實際問題,二元一次方程組及其相關概念,消元思想和用代入法、加減法解二元一次方程組以及三元一次方程組解法舉例。其中,以方程組為工具分析問題、解決含有多個未知數的問題既是本章的重點,又是難點。

本章所涉及的數學思想方法主要包括兩個:一個是由實際問題抽象為方程組這個過程中蘊涵的符號化、模型化的思想;另一個是解方程組的過程中蘊涵的消元、化歸思想,它在解方程組中具有指導作用。解二元一次方程組的各個步驟,都是為最終使方程組變形為x=a,的形式而實施的,即在保持各方程的左右兩邊相等關系的前提之下,使“未知”逐步轉化為“已知”。解三元以及多元方程組的基本策略是“消元”,即逐步減少未知數的個數,以至使方程組化歸為一元方程,先解出一個未知數,然后逐步解出其他未知數。代入法和加減法都是消元解方程組的方法,只是具體消元的手法有所不同。

【課時分配】1課時

【教學重點與難點】

教學重點:解二元一次方程組、列二元一次方程組解應用題。

教學難點:如何找等量關系,并把它們轉化成方程。

【教學目標】

1. 能熟練、準確地解二元一次方程組;會用二元一次方程組解決實際問題;通過對本章的內容進行回顧和總結,能把握各知識點間的聯系,進一步感受方程(組)模型的重要性。

2. 通過回顧反思,進一步加深對數學中的消元、化歸思想的理解,熟練、靈活地運用消元法解方程組;學會如何構建知識體系,體會前后知識間的聯系。

【教學方法】

教師組織學習材料,為學生創設理想的學習環境,學生利用問題展開探索交流.在學生把握基本內容的基礎上,教師引導學生進一步提煉,構建知識體系;在此基礎上,通過學生嘗試解決問題,以及師生之間、生生之間的討論交流,使學生對數學思想方法的認識更深刻,對解決問題的策略把握得更靈活。

【教學過程】

一、知識網絡構建

(設計說明:利用一組小練習,引導學生回顧本章主要內容,體會各知識點間的聯系,構建知識網絡,使學生對本章內容及其間的關系有清晰完整的認識。)

課前熱身練習題(要求學生上課之前完成,上課時交流訂正)

1.寫出方程2x-5y=18的3個解(答案不唯一,二元一次方程有無數個解,只要滿足要求即可)

2.用合適的方法解方程組

答案:

3. 小紅和爺爺在400米環形跑道上跑步。他們從某處同時出發,如果同向而行,那么經過200s小紅追上爺爺;如果背向而行,那么經過40s兩人相遇,求他們的跑步速度。

答案:小紅和爺爺跑步的速度分別是6m/s,4m/s

4.已知三角形的周長是18cm,其中兩邊的和等于第三邊的2倍,而這兩邊的差等與第三邊的,求這個三角形的各邊長。

設三邊的長分別是xcm,ycm,zcm(x>y)

那么

你會解這個方程組嗎?

答案: x=7

y=5

z=6

問題1:每個問題你是怎樣解決的?用到了那些知識點?和你小組中其他的同學交流一下。

(教學說明:利用第1題復習二元一次方程及其解的概念;通過第2題熟悉方程組的解法,提醒學生較復雜的方程組應先化簡,后確定用哪種方法解;設計第3題主要是用來回顧列方程解應用題的一般步驟,提醒學生通過畫圖分析題目中的數量關系;第4題的作用主要是讓學生體會三元一次方程組的用途同時用以訓練學生的計算技能。學生回答時要說清楚以下幾方面的問題:怎樣做的,結果是什么?用到的知識點的具體內容是什么,做完后有什么新的體會?)

問題2:本章的重要內容有哪些?它們之間有怎樣的聯系?

1. 重要知識點梳理

①二元一次方程:含有兩個未知數,并且所含未知數的項的次數都是一次的整式方程.

二元一次方程的解集:適合二元一次方程的一組未知數的值叫做這個二元一次方程的一個解;由這個二元一次方程的所有解組成的集合叫做這個二元一次方程的解集.

②二元一次方程組:由幾個一次方程組成并含有兩個未知數的方程組叫做二元一次方程組.

③二元一次方程組解:適合二元一次方程組里各個方程的一對未知數的值,叫做這個方程組里各個方程的公共解,也叫做這個方程組的解.

④解方程組:求出方程組的解或確定方程組沒有解的過程叫做解方程組。

⑤解二元一次方程組的基本方法是代入消元法和加減消元法(簡稱代入法和加減法)

代入法解題步驟:把方程組里的一個方程變形,用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數;用這個代數式代替另一個方程中相應的未知數,得到一個一元一次方程,可先求出一個未知數的值;把求得的這個未知數的值代入第一步所得的式子中,可求得另一個未知數的值,這樣就得到了方程的解

加減法解題步驟:把方程組里的一個(或兩個)方程的兩邊都乘以適當的數,使兩個方程里的某一個未知數的系數的絕對值相等;把所得到的兩個方程的兩邊分別相加(或相減),消去另一個未知數的一元一次方程(以下步驟與代入法相同)

⑥列二元一次方程組解應用題的步驟與列方程解應用提的步驟相同,即“設”“列”“解”“驗”“答”.

2.利用二(三)元一次方程組解決問題的基本過程

3.本章知識安排的前后順序

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(教學說明:準備練習課前完成,上課時通過交流訂正復習主要知識點,結合學生的回答逐步構建知識體系.)

二、典型問題探究

(設計說明:通過對本章中幾個典型問題的探究,進一步熟悉常用的數學思想方法及解題技巧,提高學生分析解決問題的能力)

問題1 方程2x+y=9 在正整數范圍內的解有___個

問題2 解方程組

問題3用正方形和長方形的兩種硬紙片制作甲、乙兩種無蓋的長方體紙盒(如圖)。如果長方形的寬與正方形的邊長相等,150張正方形硬紙片和300張長方形硬紙片可以制作甲、乙兩種紙盒各多少個?

硬紙片 甲種紙盒 乙種紙盒

提出以下問題引導學生思考:

每個甲種紙盒要正方形硬紙片幾張? 1張

每個乙種紙盒要正方形硬紙片幾張? 2張

每個甲種紙盒要長方形硬紙片幾張? 4張

每個乙種紙盒要長方形硬紙片幾張? 3張

解:設可制作甲種紙盒x個,乙種紙盒y個

由題意得,

解這個方程得

答:可制作甲種紙盒30個,乙種紙盒60個.

問題4 某車間每天能生產甲種零件120個,或者乙種零 件100個,或者丙種零件200個,甲,乙,丙3種 零件分別取3個,2個,1個,才能配一套,要在 30天內生產最多的成套產品,問甲,乙,丙3種 零件各應生產多少天?

(教學說明:先讓學生獨立思考嘗試解決,然后結合板演交流點評,教師只在關鍵處加以點撥.)

三、課堂鞏固訓練

(設計說明:通過練習,訓練學生利用所學知識靈活解決問題的能力。)

1. 已知|x+y|+(x-y+3)2=0,求x,y的值。

答案:x= -1.5,y=1.5

2. 某鐵路橋長1000m,現有一列火車從橋上通過,測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了1min,整列火車完全在橋上的時間共40s.求火車的速度和長度。

解:設火車的速度為xmin/s,設火車的長為ym

由題意得

解這個方程得

答:火車的速度為20min/s,設火車的長為200m.

3、為了加強公民的節水意識,合理利用水資源。某市采用價格調控手段達到節約水的目的。規定:每戶居民每月用水不超過6時,按基本價格收費,該市某戶居民今年4、5月份的用水量和水費如下表所示,試求用水收費的兩種價格。

月份

用水量/

水費/元

4

8

21

5

9

27

分析:由表格看到什么信息?

4月份用水超過6,所以水費有兩部分組成21元。

5月份用水超過6,所以水費有兩部分組成27元。

解:設基本價格為x元/;超過6部分的按y元/.

由題意知

解這個方程得

答:基本價格為1.5元/;超過6部分的按6元/

(教學說明:獨立完成,集體訂正)

四、反思總結 情意發展

(設計說明:圍繞三個問題,師生以談話交流的形式,共同總結本節課的學習收獲。)

問題1:本節課你學習了什么?

問題2:本節課你有哪些收獲?

問題3:通過今天的學習,你想進一步探究的問題是什么?

(教學說明:以上設計再次通過對三個問題的思考引導學生回顧自己的學習過程,暢所欲言,加強反思、提煉及知識的歸納,納入自己的知識結構)

五、課堂小結

1.本節主要學習如何將一單元的知識進行整理歸納,形成知識體系。

2.主要用到的思想方法是符號化、模型化思想,消元化歸思想。

3.注意的問題:

(1)復習時將平時易錯的知識點、感到疑難的問題做重點處理,不留尾巴。

(2)分析問題是選擇合適的方法,是列表、用式子還是畫圖?要根據題目特點確定

(3)在復習的基礎上提高,尤其是對知識方法的理解及對知識的綜合創新應用。

六、布置作業

1. 在方程 (a2-4)x2+(2-3a)x+(a+2)y+3a=0 中,若此方程為二元一次方程,則a的值為______

每畝所需勞動力(個)

每畝預計產值(元)

蔬 菜

3000

水 稻

700

2. 某種植大戶計劃安排10個勞動力來耕作

30畝土地,這些土地可以種蔬菜也可以種水稻,種這些作物所需勞動力及預計產值如右表,為了使所有土地種上作物,全部勞動力都有工作,應安排種蔬菜的勞動力

為 人,這時預計產值為 元。

答案:5,44000

3、七年級(2)班的一個綜合實踐活動小組去A、B兩個超市調查去年和今年“五一”

矩形標注: B超市銷售額今年比去年增加10%.期間的銷售情況,下圖是調查后小敏與其他兩位同學進行交流的情景,根據他們的對話,請你分別求出A、B兩個超市今年“五一”期間的銷售額.

答案:A、B兩個超市今年“五一”期間的銷售額分別是115萬元,55萬元

4.課本118頁復習題3,4,5,6

(教學說明:及時作業是鞏固課堂學習知識的重要環節,方程組的解法及應用。)

七、拓展練習

(設計說明:利用本組題目,開拓學生視野,滿足不同學生的發展需要。)

1.已知甲、乙兩人的年收入之比為3︰2,年支出之比為7︰4,年終時兩人各余400元,若設甲的年收入為x元,年支出為y元,則可列方程組為( )

A、 B、 C、 D、

答案:D

2. 若下列三個二元一次方程:3x-y=7;2x+3y=1;y=kx-9有公共解,那么k的取值應是( )

A、k=-4 B、k=4 C、k=-3 D、k=3

答案:B

3. 解方程組(1) (2)

4. 如圖,周長為68cm的長方形ABCD被分成7個相同的矩形,

求長方形ABCD的面積.

提示:先求出小矩形的長和寬(10cm,4cm),然后求長方形ABCD的面積.

(280cm2

5.(2008 山東聊城) 實驗中學組織愛心捐款支援災區活動,九年級一班55名同學共捐款1180元,捐款情況見下表.表中捐款10元和20元的人數不小心被墨水污染已經看不清楚,請你幫助確定表中的數據.

捐款(元)

5

10

20

50

人數

6

7

解:設捐10元的同學有人,捐20元的同學有人,根據題意,得

化簡,得

解這個方程組,得

答:捐款10元和20元的同學分別為4人和38人

6.(2008 山東泰安) 某廠工人小王某月工作的部分信息如下:

信息一:工作時間:每天上午8∶20~12∶00,下午14∶00~16∶00,每月25元;

信息二:生產甲、乙兩種產品,并且按規定每月生產甲產品的件數不少于60件.

生產產品件數與所用時間之間的關系見下表:

生產甲產品件數(件)

生產乙產品件數(件)

所用總時間(分)

10

10

350

30

20

850

信息三:按件計酬,每生產一件甲產品可得1.50元,每生產一件乙產品可得2.80元.

根據以上信息,回答下列問題:

(1)小王每生產一件甲種產品,每生產一件乙種產品分別需要多少分?

(2)小王該月最多能得多少元?此時生產甲、乙兩種產品分別多少件?

(1)解:設生產一件甲種產品需分,生產一件乙種產品需分,由題意得:

解這個方程組得:

生產一件甲產品需要15分,生產一件乙產品需要20分.

(2)解:設生產甲種產品用分,則生產乙種產品用分,則生產甲種產品件,生產乙種產品件.

,得

由一次函數的增減性,當取得最大值,此時(元)

此時甲有(件),乙有:(件)

注:本題只做(1)

(教學說明:教學時可根據實際做調整,要讓學生充分的合作交流,共同解決問題)

【評價與反思】

1.復習課教學模式的探討:利用基礎題組回顧梳理主要知識點,構建知識體系----通過典型問題探究加深對主要思想方法的理解,掌握常用解題方法-----采取限時訓練與開放研究相結合的方式進行鞏固與拓展練習,以保證技能技巧的形成和不同學生發展的需求.

2.復習課目標的確定:首要的一點是從總體上把握本章主要內容及其間的聯系,重在回顧整理,查缺補漏;其次是綜合創新,基礎知識掌握了,綜合靈活地解決問題才有可能,同時問題的難易程度要適合學生的實際情況,注重思維發散性與深刻性的訓練,使不同層次的學生通過復習都得到較大的提高.

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