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三角形的高、中線與角平分線 教學設計

§7.1.2三角形的高、中線與角平分線

【教學重點與難點】

教學重點:1.了解三角形的高、中線與角平分線的概念.

2.能利用三角形的高、中線和角平分線的性質進行簡單計算.

教學難點:1.能用自己的語言說出三角形高、中線與角平分線的概念.

2.熟練運用三角形的高、中線和角平分線的性質進行有關計算.

【教學目標】

1.了解三角形的高、中線與角平分線的概念.毛

2.準確區分三角形的高、中線與角平分線.

3.能夠獨立完成與三角形的高、中線和角平分線有關的計算.

【教學方法】

以學生實踐為主,在已學內容的基礎上進行更進一步的探究,從而發現新的結論,以此培養學生發現和解決問題的能力.

【教學過程】

一.回顧舊知 提出問題

(設計說明:通過對已學知識的回憶來鞏固基礎知識的運用,并借此引入新課.)

問題1:數一數,圖中共有多少個三角形?請將它們全部用符號表示出來.

學生回答:圖中共有5個三角形.

它們分別是:△ABC、△ABD、△ACD、

△ADE、△CDE.

問題2:利用長為3、5、6、9的四條線段可以組成幾個三角形?為什么?

學生回答:可以組成2個三角形.

從四條線段中任選三條組成三角形,共有四種選法:①3、5、6,②3、5、9,③3、6、9,④5、6、9,其中,滿足“三角形兩邊之和大于第三邊”的只有第①、④這兩組.

問題3:利用△ABC的一條邊長為4cm,面積是24 cm2這兩個條件,你能求出什么結論?

學生回答:能夠求出的△ABC高是3 cm.

(教學說明:教師利用問題讓學生回顧所學知識,特別是問題3內容的變化,可以引起學生注意和疑問,將學生的思路引入與三角形有關的線段中.)

二、探索新知 解決問題

1.通過作圖探索三角形的高

(設計說明:通過經歷畫三角形的高的過程,使學生在頭腦中留下清晰形象,并能結合這些具體形象敘述高的定義.)

問題1:你能畫出下列三角形的所有的高嗎?

學生畫出三角形所有的高,觀察這些高的特點.

問題2:根據畫高的過程說明什么叫三角形的高?

學生討論回答,師完善并歸納:從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線,連接頂點和垂足之間的線段稱為三角形的高.

問題3:在這些三角形中你能畫出幾條高?它們有什么相同點和不同點?

學生回答:每個三角形都能畫出三條高.

相同點是:三角形的三條高交于同一點.

文本框: 不同點是:銳角三角形的高交于三角形內一點,直角三角形的高交于直角的頂 點,鈍角三角形的高交于三角形外一點.

問題4:如圖所示,如果AD是△ABC的高,你能得到哪些結論?

學生回答:如果AD是△ABC的高,則有:

AD⊥BC于D,∠ADB=∠ADC=90°.

(教學說明:三角形的高的概念在書中并沒有具體給出,所以學生在歸納定義的時候會有一定的困難.那么在授課時就要留給學生充足的時間進行思考和討論,教師可以引導學生先利用具體圖形進行定義,再由具體圖形中抽出準確、簡明的語言,同時要強調:三角形的高是一條線段.在問題3中,有些學生會認為直角三角形只能畫出斜邊上的一條高,這時教師要給予講解,說明另外兩條直角邊也是這個直角三角形的高.而問題4是要將三角形的高用符號語言表示出來,這是為以后學習證明打基礎.)

2.類比探索三角形的高的過程探索三角形的中線

(設計說明:利用類比的方法進行探索,可以留給學生更多思考與探究的空間,有得于拓展學生的思維,培養學生自主探究的學習習慣.)

問題1:如圖,如果點C是線段AB的中點,你能得到什么結論?

文本框: 學生回答:

問題2:如圖,如果點D是線段BC的中點,那么線段AD就稱為△ABC 的中線.類比三角形的高的概念,試說明什么叫三角形的中線?由三角形的中線能得到什么結論?

學生回答:三角形中連結一個頂點和它對邊中的線段稱為三角形的中線.

如果線段AD是△ABC的中線,那么

問題3:畫出下列三角形的所有的中線,并討論說明三角形的中線有什么特點?

學生回答:無論哪種三角形,它們都有三條中線,并且這三條中線都會交于一點,這一點都在三角形的內部.

文本框: 問題4:如圖所示,在△ABC中,AD是△ABC的中線,AE是△ABC的高.試判斷△ABD和△ACD的面積有什么關系?為什么?

學生回答:△ABD和△ACD的面積相等.理由:

∵AD是△ABC的中線

∴BD=CD

∵AE既是△ABD的高,也是△ACD的高

∴△ABD和△ACD的面積相等.

問題5:通過問題4你能發現什么規律?

學生回答:三角形的中線將三角形的面積平均分成兩份.

(教學說明:讓學生利用對三角形的高的探究過程,利用類比的方法進行對三角形的中線的探究.“類比思想”是數學學習中常用的一種思想,所以在授課過程中要讓學生體會運用這種思想進行探究的好處,培養自主探究的能力.問題4和問題5的設立是對三角形中線的知識進行擴展,并不是教科書中的內容,但能夠使學生更深刻地體會三角形中線的特點,同時,根據課堂時間的需要,對于這兩個問題的講授,教師可以自行調節.)

3.通過類比的方法探究三角形的角平分線

文本框: (設計說明:再次使用類比的方法進行探究,讓學生經歷動腦思考探索的過程,對知識有進一步的理解.)

問題1:如圖,若OC是∠AOB的平分線,你能得到什么結論?

學生回答:

問題2:如圖,在△ABC中,如果∠BAC的平分線AD交BC邊于點D,我們就稱AD是△ABC的角平分線.類比探索三角形的高和中線的過程,你能得到哪些結論?三角形的角平分線與角的角平分線相同嗎?為什么?

學生回答:三角形一個內角的平分線與它的對邊相交,這個角的頂點與交點之間的線段稱為三角形的角平分線.

三角形有三條角平分線,并且這三條角平分線在三角形內交于一點.

如果AD是△ABC的角平分線,那么就有

三角形的角平分線與一個角的角平分線不一樣,三角形的角平分線是一條線段,有長度,而角的平分線是一條射線,沒有長度.

(教學說明:對于三角形的角平分線的探究,教師要給學生足夠的空間和時間,如果漏下了哪一點沒有探究到,教師可以給予提示.)

三、鞏固訓練 熟練技能

(設計說明:通過比較練習,幫助學生掌握三角形的高、中線和角平分線的基本性質,熟練基本技能.)

練習1:如圖,在△ABC中畫出這個三角形的高BD,中線CE和角平分線BF.

文本框:

文本框:

練習2:如圖,已知AD,BE,CF都是△ABC的三條中線.

則AE= = ,BC=2 ,AF= .

學生:CE,AC,BD或CD,BF.

文本框: 練習3:如圖,已知AD,BE,CF都是△ABC的三條角平分線.

則∠1= ,∠2= =

∠ABC=2 .

學生:∠BAC,∠3,∠ACB,∠4或∠ABE.

練習3:如圖,△ABC中,AC=12 cm,BC=18 cm,△ABC的高AD與BE的比是多少?

學生:解:由三角形的面積公式得

所以有

解得

(教學說明:練習的設計以基礎知識為主,要讓學生獨立完成.而練習3是所學知識的一個應用,要讓學生有利用面積求高的意識,開闊思路.)

四、反思總結 情意發展

(設計說明:圍繞三個問題,師生以談話交流的形式,共同總結本節課的學習收獲。)

問題1:本節課你學習了什么?

問題2:本節課你有哪些收獲?

問題3:通過今天的學習,你想進一步探究的問題是什么?

(教學說明:以上設計再次通過對三個問題的思考引導學生回顧自己的學習過程,暢所欲言,加強反思、提煉及知識的歸納,納入自己的知識結構)

五、課堂小結

1.本節主要學習三角形的高、中線和角平分的概念與性質.

2.本節涉及到的思想方法是類比思想.

3.注意的問題:

(1)每個三角形都有三條高,三條中線和三條角平分線.

(2)三角形的三條高交于一點,但銳角三角形的高交于三角形內一點,直角三角形的高交于直角的頂點,鈍角三角形的高交于三角形外一點.三角形的三條中線交于三角形內一點,三角形的三條角平分線也交于三角形內的一點.

(3)三角形的高、中線和角平分線都是線段.

(4)能將三角形的面積平均分成兩部分的線是三角形的中線.

六、布置作業

1、課本69頁習題7.1的3、4;

(教學說明:及時作業是鞏固課堂學習知識的重要環節,練習題是對本節的基礎知識進行鞏固.)

七、拓展練習

(設計說明:在學習基礎知識的基礎上,拓展學生思維,提高學生的學習興趣。)

練習1:如圖,在直角三角形中,AC⊥BC,AC=8,BC=6,AB=10.

求頂點C到邊AB的高.

學生:解:設頂點C到邊AB的高為h,由三角形的面積公式可得

所以有

解得:h=4.8

文本框: 所以,頂點C到邊AB的高為4.8.

練習2:如圖,在△ABC中,AD是角平分線,DE//AC,DF//AB.試判斷∠3和∠4的關系,并說明理由.

學生:解:∠3=∠4.

理由:∵AD平分∠BAC,

∴∠1=∠2,

又∵DE//AC,DF//AB,

∴∠1=∠4,∠2=∠3

∴∠3=∠4.

練習3:利用所學知識將三角形分成面積相等的四部分.(至少畫出4種)

學生:利用三角形中線的性質可得

……

(教學說明:這三個練習是三角形的高、中線和角平分線的應用,特別是練習2,加入了平行線的性質,所以教師應給學生一定的思考時間,并讓學生充分的合作交流,共同解決問題.)

【評價與反思】

本節內容是七年級數學第七章的第二節,主要介紹三角形的高、中線和角平分線的概念及基本性質,雖是一節概念教學課,但重點卻在性質的應用上.

本節的知識內容較多,不僅要讓學生了解三角形的高、中線和角平分線的概念,還要對這三種線段的表示方法和性質進行探究.在教學過程中,教師引導學生從熟悉的知識入手,并利用類比的方法自主探索新的知識.在教學過程中,教師應讓學生以獨立思考為主,并在必要時進行互助交流,讓學生經歷得出結論的過程,培養學生解決問題的能力.

在教學設計上,關注學生自主學習、合作交流的過程,讓學生體會類比思想在探索新知中的作用,使學生在親自經歷整個探究過程后,能夠對三角形的高、中線和角平分線的概念及性質有更好的理解,在獲得數學活動經驗的同時,提高探究、發現和創新的能力.

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