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三角形的外角 教學設計

§7.2.2三角形的外角

【教學重點與難點】

教學重點:1.了解三角形外角的概念及性質.

2.能利用三角形外角的性質解決簡單問題.

教學難點:1.能夠證明“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”.

2.了解“三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角”的應用范圍,并能解決簡單問題.

【教學目標】

1.了解三角形外角的概念.毛

2.探索并證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

3.運用三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角解決簡單問題.

【教學方法】

在學生自主探索的基礎上加以引導,培養學生的邏輯思維及發現問題和解決問題的能力.

【教學過程】

一、回顧舊知 提出問題

(設計說明:利用問題回顧三角形內角和定理,并利用舊知識,發現新知識.)

文本框: 問題1:如圖,已知BD // CE,∠A=45°,∠C=65°,求∠1和∠2的度數.

學生回答:由BD // CE可知,∠1=∠C=65°,由三角形內角和等于180°可得,∠2的鄰補角等于70°,所以∠2=110°.

問題2:在問題1中,∠2被稱為三角形的外角,根據∠2的構成,你能說明什么叫三角形的外角嗎?

學生討論回答,教師歸納:三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外角.

(教學說明:在回顧舊知的問題1中,教師不僅要讓學生得到正確的結論,還要說明每個結論的理論根據,最好能讓學生寫出證明過程.而問題2中,要強調“一邊”與“另一邊的延長線”所組成的角,為找三角形外角個數打基礎.)

二、探索新知 解決問題

1.根據定義探索三角形外角的個數

(設計說明:根據三角形外角的定義,找出三角形所有的外角,并探索這些角的特點.在探索的過程中,使學生加深印象.)

問題1:根據定義,畫出三角形的外角.你能畫出多少個?

學生回答:如圖,可以畫出6個外角.

問題2:這6個角有什么關系?(位置關系和數量關系)

學生回答:∠1和∠2是對頂角,∠3和∠4是對頂角,∠5和∠6是對頂角,所以有∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.

教師說明:由于三角形這6個外角是三對對頂角,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,所以當我們說三角形的外角時,一般是從這三對對頂角的每一對中取出一個,組成三個角.因此,我們說三角形有三個外角.

(教學說明:在教科書中并沒有這個環節,但在教學時,這個環節是必不可少的,因為這是為探索外角的性質及外角和打基礎.所以,在問題2中,首先要強調的是圖形之間的關系.圖形與圖形之間的關系有兩種,一種是位置關系,一種是數量關系.所以,當問題中只問到兩個圖形之間有什么關系時,學生要從兩方面回答.而對于三角形的外角,教師要說明,雖然三角形一共有6個外角,但我們只取其中的三個,而這三個外角必須分別從三對對頂角中取,且每對只取一個,不能重復.)

2.手腦并用探索三角形外角的性質及外角和

文本框: (設計說明:學生通過計算、討論、證明的方式探索三角形外角的性質及外角和,培養學生合作交流及邏輯思維能力.)

問題1:如圖,在△ABC中,∠ABC=65°,∠ACB=40°,求∠BAC的度數及三角形的外角∠1,∠2,∠3的度數.

學生回答:∠BAC=75°,∠1=105°,∠2=115°,∠3=140°.

問題2:觀察你的結論,你能發現三角形的三個內角及它的外角有什么關系嗎?三個外角又有什么關系?

學生討論回答,教師總結:①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和;②三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角;③三角形的外角和等于360°.

問題3:試證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

文本框: 學生回答:

已知:在△ABC中,∠1是三角形的一個外角.

求證:∠1=∠A+∠B.

證明:∵∠ACB+∠A+∠B=180°,(三角形的內角和等于180°)

∴∠ACB=180°-∠A-∠B.

∵∠1與∠ACB是鄰補角,

∴∠1+∠ACB=180°.

∴∠1=180°-∠ACB=180°-(180°-∠A-∠B)=∠A+∠B.

文本框: 問題4:試證明三角形的外角和等于360°.

學生回答:

已知:在△ABC中,∠1,∠2,∠3都是三角形的外角.

求證:∠1+∠2+∠3=360°.

證明:∵∠1,∠2,∠3都是三角形的外角,

∴∠1=∠ABC+ ACB.

(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和)

同理,∠2=∠BAC+ ACB,∠3=∠BAC+∠ABC .

∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+ ACB+∠BAC+ ACB +∠BAC+∠ABC

=2(∠BAC+∠ABC+∠ACB).

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,(三角形的內角和等于180°)

∴∠1+∠2+∠3=2×180°=360°.

(教學說明:在學生的自主探究過程中,教師要關注學生之間的交流合作,并適時加以引導,同時對學生所得出的正確結論要給肯定.同時還要強調定理證明的基本步驟,并要求學生獨立完成證明過程.)

三、鞏固訓練 熟練技能

(設計說明:通過基礎練習,加深對三角形外角的認識,熟練基本技能.)

練習1:說出下列圖中∠1和∠2的度數.

文本框: 練習2:如圖,是 外角, + ,是 外角,= + ,是 外角,= + ,> ,> .

學生: △ACD,∠A,∠ACD,△BCF,∠BCF,∠FBC,△BDF(△CEF),∠BDF(∠CEF),∠DBF(∠ECF),∠BDF(∠CEF…),∠A.

文本框: 練習3:如圖,CE是△ABC的外角∠ACD的平分線,且CD交BA的延長線于點E,證明∠ABC﹥∠B.

學生:

證明:∵CE是∠ACD的平分線,

∴∠ACE=∠DCE.(角平分線定義)

∵∠DCE是△BCE的外角,

∴∠DCE﹥∠B.

(三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角)

∴∠ACE﹥∠B .(等量代換)

∵∠BAC是△ACE的外角,

∴∠BAC﹥∠ACE.(三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角)

文本框: ∴∠ABC﹥∠B.

練習4:如圖,點D是△ABC內的一點,連接BD和CD,證明∠BDC﹥∠A.

學生:

證明:延長BD交AC于E.

∵∠BEC是△ABE的外角,∠BDC是△CDE的外角,

文本框: ∴∠BEC﹥∠A,∠BDC﹥∠BEC.

(三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角)

∴∠BDC﹥∠A.

(教學說明:練習的設計有一定的階梯性,盡量讓學生獨立完成.對于練習3和練習4,如果學生沒有思路,教師要給予是所學知識的一個應用,要讓學生有利用面積求高的意識,開闊思路.)

四、反思總結 情意發展

(設計說明:圍繞三個問題,師生以談話交流的形式,共同總結本節課的學習收獲。)

問題1:本節課你學習了什么?

問題2:本節課你有哪些收獲?

問題3:通過今天的學習,你想進一步探究的問題是什么?

(教學說明:以上設計再次通過對三個問題的思考引導學生回顧自己的學習過程,暢所欲言,加強反思、提煉及知識的歸納,納入自己的知識結構)

五、課堂小結

1.本節主要學習三角形的外角的概念及性.

2.注意的問題:

(1)三角形的外角是由三角形一邊的延長線與另一邊所組成的角.

(2)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

(3)三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角.

(4)三角形的外角和等于360°.

六、布置作業

1、課本76頁習題7.2的5、6;

(教學說明:及時作業是鞏固課堂學習知識的重要環節,練習題是對本節的基礎知識進行鞏固.)

七、拓展練習

(設計說明:對已學的知識進行綜合應用,培養學生的應變能力.)

練習1:如圖,在△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線交于點p.

試證明

學生:

證明:∵Bp,Cp分別是∠ABC與∠ACB的平分線,

.(角平分線定義)

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠p+∠pBC+∠pCB=180°,

(三角形的內角和等于180°)

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠p =180°-(∠pBC+∠pCB).

文本框: (等量代換)

練習2:如圖,在上題中,如果Cp是△ABC外角∠pCD的角平分線,那么∠p與∠A有什么關系?試證明你的結論.

學生:答:

理由:∵Bp,Cp分別是∠ABC與∠ACD的平分線,

.(角平分線定義)

∵∠pCD是△pBC的外角,∠ACD是△ABC的外角

∴∠pCD=∠p+∠pBC,∠ACD=∠A+∠ABC,

(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和)

∴∠p=∠pCD -∠pBC,∠ABC =∠ACD-∠A.

.(等量代換)

文本框: 練習3:如圖,在上題中,如果Bp,Cp分別是∠CBD與∠BCE的平分線,那么∠p與∠A有什么關系?試證明你的結論.

學生:答:

理由:∵Bp,Cp分別是∠CBD與∠BCE的平分線,

.(角平分線定義)

∵∠CBD與∠BCE都是△ABC的外角,

∴∠CBD=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ACB,

(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和)

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,

∠p+∠pBC+∠pCB=180°,(三角形的內角和等于180°)

∴∠p =180°-(∠pBC+∠pCB),∠ABC+∠ACB=180°-∠A,

.(等量代換)

(教學說明:這三個練習其實是將一道題分成三部分,以降低題的難度,主要是考查學生對三角形外角的性質的應用,具有一定的難度,所以教師應給學生充足的思考時間,并讓學生以所學的基礎知識為出發點進行充分的合作交流,共同解決問題.)

【評價與反思】

本節主要介紹三角形的外角及其性質,是一節探究課.

本節的知識內容很突出,就是要讓學生了解三角形的外角及其性質,所以在教學過程中,教師可以放手讓學生探索,利用多種方法進行研究.同時要關注學生的合作交流,開闊學生的思路,讓學生在經歷整個探索過程的同時,體會數學的嚴謹性,培養學生的邏輯思維和解決問題的能力.

在教學設計上,關注學生自主學習、合作交流的過程,讓學生體會數學知識應用的靈活性,感受數學基礎的重要,在獲得數學活動經驗的同時,提高學生探究、發現和創新的能力.

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