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三元一次方程組解法舉例 教學設計

§8.4 三元一次方程組解法舉例

教材分析

本課的主要內容是學習三元一次方程組的解法,由于三元一次方程組相關知識與二元一次方程組類似,所以先結合實例運用類比法學習三元一次方程組的有關概念,然后利用消元思想解三元一次方程組.盡管三元一次方程組與二元一次方程組的解法有許多類似之處,畢竟三元一次方程組復雜得多,所以在學習的過程中,重點處理好與二元一次方程組解法中不同的環節,在比較的過程中學習新知識,使學生對消元思想有更深層次的認識,能將這種思想遷移到解決四元一次方程組、五元一次方程組……等問題中.

列三元一次方程組解決實際問題雖然不是這節課的重點,不過它有助于學生理解為什么要學習一元高次方程組的解法以及數學與生活的密切聯系,同時也可以為以后學習二次函數做一些準備,所以有必要做一部分較簡單的實際應用題.

在理解運用消元思想方法的同時,觀察分析及運算能力也是這節課訓練的重點內容,注意在應用的過程中培養學生的良好思維、表達習慣.

【課時分配】1課時

【教學重點與難點】

教學重點:會準確、迅速地解三元一次方程組

教學難點:根據方程組的特點確定先消哪個元,怎么消?

【教學目標】

1. 會用代入消元法和加減消元法解三元一次方程組,提高運算技能.

2. 通過解三元一次方程組,進一步體會“消元化歸”思想.

3. 通過學習體會前后知識之間、數學與生活之間的密切聯系,發展應用意識.

【教學方法】

利用一個具體問題,在復習已有知識的基礎上類比學習學習新內容.教師為學生提供部分學習素材,創設和諧融洽積極向上的學習氛圍,學生在獨立思考的基礎上與同學交流合作,教師的指導與學生的探索有機結合,使學生在嘗試中發展、提高.

【教學過程】

一、創設情境 提出問題

(設計說明:利用一個既能用二元一次方程組解決,又能用三元一次方程組解決的問題,讓學生在解決問題的過程中,自然過渡到新知識的學習.)

導語:通過以上幾節課的學習,我們不僅知道了什么是二元一次方程、二元一次方程組,而且還能利用他們來解決許多實際問題,這些問題中的未知數有兩個.如果問題中的未知數多于兩個,你能解決嗎?請大家嘗試解決下面的問題.

問題:小明手頭有12張面額分別為1元、2元、5元的紙幣,共計22元,其中1元的紙幣的數量是2元紙幣數量的4倍.求1元、2元、5元紙幣各多少張?

解法一:設1元、2元、5元的紙幣分別為x張、y張,則5元的紙幣(12-x-y)張,根據題意得 x+2y+5(12-x-y)=22

x=4y

解得

x=8

y=2

∴12-x-y=12-8-2=2

答:1元、2元、5元的紙幣分別有8張,2張,2張.

解法二:設1元、2元、5元的紙幣分別為x張、y張、z張

根據題意,得:

x+y+z=12 ①

x+2y+5z=22 ②

x=4y ③

多數同學會列二元一次方程組解答,也可能會有同學列出三元一次方程組,教師注意觀察,請學生介紹自己的想法及遇到的問題.如果沒有學生列三元一次方程組,教師可以提出問題:如果設三個未知數,會得到那些關系式?結合具體式子學習三元一次方程組的相關知識.

(教學說明:教師提出問題,學生嘗試解決,教師結合學生的具體情況靈活調控:或順勢進入新課學習,或提出新的問題將學生引導到先課內容上來.)

二、探索新知 解決問題

1.三元一次方程組的有關概念:

(設計說明:結合實例,用類比法學習三元一次方程族的有關概念)

(1) 三元一次方程

結合前面得到的三個方程學習相關概念

x+y+z=12 ①

x+2y+5z=22 ②

x=4y ③

教師:大家知道,方程③是二元一次方程,方程①、②呢?你能說出它們的特點嗎?

定義:含有三個未知數,并且含有未知數的項的次數都是1,這樣的整式方程方程叫做三元一次方程

(2)三元一次方程組

這個問題的解必須同時滿足上面三個條件,因此,我們

把這三個方程合在一起,寫成

x+y+z=12

x+2y+5z=22

x=4y

這個方程組含有三個未知數,每個方程中含未知數的項的次數都 是1,并且一共有三個方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組

(教學說明:由于三元一次方程組的概念比較容易理解,結合實例師生以談話的方式解決即可)

過渡:如果能把三元一次方程組的解求出來,問題就解決了,那么這個方程組怎樣解呢?請打家回顧幾個問題:解二元一次方程組的基本思路是什么?-----消元,將二元方程組轉化成一元一次方程具體方法是什么?------代入消元法、加減消元法, 能否用類似的方法解三元一次方程組呢?

2. 三元一次方程組的解法

問題1 解方程組

(設計說明:利用列出的方程組探索三元一次方程組的解法,體會消元思想的意義)

x+y+z=12 ①

x+2y+5z=22 ②

x=4y ③

(1) 指導思想:將三元一次方程組轉化成二元一次方程組

(2)具體做法:通過①③消去未知數z,得到關于x,y的方程,與②組成二元一次方程組,先求出x,y,再求出z

(3)解答過程:①×5-②,得4x+3y=38 ④

解由③④組成的方程組, x=4y ③

4x+3y=38 ④

x=8

y=2

把x=8,y=2代入①,得 z=2

∴原方程組的解為

x=8

y=2

z=2

(教學說明:師生共同分析思路,有學生獨立嘗試寫出解答過程,結合板演訂正并梳理主要路子:必須先確定消去哪個未知數,然后將三元一次方程組轉化為二元一次方程組,最后要寫出方程組的解)

問題2 解三元一次方程組

3x+4z=7 ①

2x+3y+z=9 ②

5x-9y+7z=8 ③

(設計說明:由于這個方程組與問題1中的方程組解法類似,只是計算稍加復雜,所以利用它進一步熟悉解三元一次方程組的基本步驟,訓練學生的觀察能力及運算技能)

解:②×3+③ ,得

11x+10z=35 ④

①與④組成方程組

3x+4z=7

11x+10z=35

解這個方程組,得 x=5

z=-2

把x=5,z=-2代入②,得y=

因此,三元一次方程組的解為

x=5

y=

z=-2

(教學說明:學生獨立完成,一名同學板演.結合出現的問題及時點評,使學生體會到思路清晰并不代表能做對,使學生養成認真、細心的良好習慣.)

問題3 在等式 y=ax2+bx+c中,當x=-1時,y=0;當x=2時,y=3;當x=5時,y=60.

求a,b,c的值

(設計說明:問題3是三元一次方程組的簡單應用,利用這個題目,一方面讓學生體會利用三元一次方程組可以解決問題,另一方面進一步探究三元一次方程組的一般解法,提高學生的觀察分析能力與運算技能.)

分析:(1)根據題意,列出關于a,b,c的三元一次方程組,通過解方程組,求出a,b,c的值.

(2)方程組中的每一個方程都含有三個未知數,這是和前面的方程組不同的地方,因此它的解法也有所區別.由于c的系數最簡單,所以先消去c.用②-①,③-①分別得到兩個關于a,b的二元一次方程,解由它們組成的方程組就可以求出a,b,的值,然后再求出c的值.

解:根據題意,得三元一次方程組

a-b+c= 0 ①

4a+2b+c=3 ②

25a+5b+c=60 ③

②-①, 得 a+b=1 ④

③-①,得 4a+b=10 ⑤

④與⑤組成二元一次方程組

a+b=1

4a+b=10

解這個方程組,得

a=3

b=-2

把 a=3 代入①,得

b=-2

c=-5

因此

a=3

b=-2

c=-5

答:a=3, b=-2, c=-5.

歸納:解三元一次方程組的一般步驟

1.觀察方程組的系數特點,確定先消哪個未知數.

2.消元,得到一個二元一次方程組.

3.解二元一次方程組,求出兩個未知數的值.

4.求出第三個未知數的值,寫出方程組的解.

(教學說明:師生共同分析解題思路,然后由學生寫出解答過程,最后歸納解三元一次方程組的一般步驟及注意事項.)

三、鞏固訓練 熟練技能

(設計說明:通過練習,掌握三元一次方程組的解法,形成初步運算技能)

教材114頁練習1,2

(教學說明:獨立完成,及時訂正,注意解題的規范與計算的準確)

四、反思總結 情意發展

(設計說明:圍繞三個問題,師生以談話交流的形式,共同總結本節課的學習收獲。)

問題1:本節課你學習了什么?

問題2:本節課你有哪些收獲?

問題3:通過今天的學習,你想進一步探究的問題是什么?

(教學說明:以上設計再次通過對三個問題的思考引導學生回顧自己的學習過程,暢所欲言,加強反思、提煉及知識的歸納,納入自己的知識結構)

五、課堂小結

1.本節主要學習三元一次方程組的解法.

2.主要用到的思想方法是消元思想:將三元一次方程組轉化成二元一次方程.

3.注意的問題:

(1)先消哪個未知數,怎樣消元,取決于方程組的系數特點,要仔細觀察,選擇較簡單的方法.

(2)消元時,兩次消去的必須是同一個“元”.

(3)解出方程組時要細心,在準確的基礎上提高運算速度.

六、布置作業

1、必做題:課本114頁習題1,2,3

2.選做題:課本115頁習題4,5;119頁復習題 11

(教學說明:及時作業是鞏固課堂學習知識的重要環節,練習題三元一次方程組的解法)

七、拓展練習

(設計說明:在學習基礎知識的基礎上,拓展學生思維,提高學生的學習興趣。)

1. 如果方程組的解使代數式kx+2y -3z的值為10,則k=( )

提示:解方程組求出x,y,z的值代入kx+2y -3z=10即可求出k的值.

2. 有甲、乙、丙三種商品,如果購甲3件、乙2件,丙1件共需315元錢,購甲1件、乙2件、丙3件共需285元錢,那么購甲、乙、丙三種商品各一件共需 元錢.

提示:設甲、乙、丙三種商品的價格分別是x元,y元,z元,則

3x+2y+z=315①

x+2y+3z=285②

①+②,得 4(x+y+z)=600

∴x+y+z=150

3.為確保信息安全,信息需要加密傳輸,發送方由明文對應密文(加密),接收方由密文對應明文(解密)已知加密規則為明文x,y,z對應密文為2x+3y,3x+4y,3z.例如:明文1,2,3對應密文8,11,9當接收方收到密文12,17,27時,則解密得到的明文為 解析:本題仔細分析一下可以知道這是一道三元一次方程組的問題,由題意可設這三個明文數字為x,y,z得 2x+3y=12 x=3 3x+4y=17 解得y=2 3z=27 z=9

所以,解密得到的明文為3,2,9

(教學說明:教學時可根據實際做調整,要讓學生充分的合作交流,共同解決問題)

【評價與反思】

1.因需要而學習,在應用中發展:結合實際問題引入三元一次方程組的有關概念,為解決具體問題研究三元一次方程組的解法,掌握解法之后解決新的更多更復雜的問題,使學生頭腦中建立這樣的聯系----學以致用

2.類比遷移,舉一反三:類比二元一次方程組的知識學習三元一次方程組,并進一步應用于解其它一元高次方程組.同時,根據方程組的特點靈活選擇恰當的解法,在應用的過程中形成技能技巧.

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